Constante d'Embree-Trefethen

En mathématiques, et notamment en théorie des nombres, la constante d'Embree-Trefethen est une valeur charnière, notée traditionnellement $\beta ^{*}$ et valant approximativement $0{,}70258$. Cette constante porte le nom des mathématiciens Mark Embree (en) et Lloyd N. Trefethen.

Soit $\beta$ un nombre positif fixé. On considère la suite définie par récurrence

$x_{n+1}=x_{n}\pm \beta x_{n-1}$

où le signe ± dans la somme est choisi aléatoirement pour chaque n, indépendamment et avec la même probabilité pour + et −. On peut démontrer que pour chaque $\beta$, la limite

$\sigma (\beta )=\lim _{n\to \infty }{|x_{n}|^{1/n}}$

existe presque sûrement. En d'autres termes, la suite varie exponentiellement avec probabilité 1, et $\sigma (\beta )$ peut être vu comme le taux presque sûr de croissance exponentielle.

On a

$\sigma (\beta )<1$ pour $0<\beta <\beta ^{*}$

où $\beta ^{*}\approx 0{,}70258$ ( A118288), de sorte que la suite récurrente décroît exponentiellement avec probabilité 1 quand n tend vers l'infini, et

$\sigma (\beta )>1$ pour $\beta >\beta ^{*}$

de sorte que la suite croît exponentiellement. En ce qui concerne les valeurs de $\sigma$, on a :

• $\sigma (1)=1{,}13198\dots$ (c'est la constante de Viswanath  A078416) et
• $\sigma (\beta ^{*})=1$.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Embree–Trefethen constant » (voir la liste des auteurs).

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Random Fibonacci Sequence », sur MathWorld
• Benoît Rittaud, « Les suites de Fibonacci aléatoires », ALEA 2009, Université Paris-13